Invers Derivata Kalkylator

Kategori: Kalkyl
- maj 17, 2025
| |

Hitta antiderivatan (obestämd integral) av en funktion. Denna kalkylator hjälper dig att bestämma den ursprungliga funktionen från dess derivata.

Indatafunktion

Visningsalternativ

Om Antiderivator och Integration

En antiderivata (eller obestämd integral) av en funktion f(x) är en funktion F(x) vars derivata är f(x). Med andra ord, om F'(x) = f(x), då är F(x) en antiderivata av f(x).

Nyckelegenskaper för Antiderivator
  • Om F(x) är en antiderivata av f(x), då är F(x) + C också en antiderivata, där C är en konstant
  • Antiderivatan av en summa är summan av antiderivator: ∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx
  • Konstantmultiplikationsregel: ∫k·f(x)dx = k·∫f(x)dx, där k är en konstant
  • Potensregel: ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C, där n ≠ -1
  • Integration av e^x: ∫e^x dx = e^x + C
  • Integration av 1/x: ∫(1/x)dx = ln|x| + C
Tillämpningar av Integration

Antiderivator och integration har många tillämpningar inom:

  • Att hitta area under kurvor och mellan kurvor
  • Beräkna volymer av tredimensionella objekt
  • Lösa differentialekvationer
  • Fysikaliska tillämpningar: arbete, energi och rörelse
  • Sannolikhet och statistik
  • Ingenjörsvetenskap: spänningsanalys, fluiddynamik, etc.

Vad är en invers derivata?

Den inversa derivatan hjälper till att beräkna derivatan av inversen av en given funktion. För en funktion ( f(x) ), bestäms derivatan av dess invers, ( f^{-1}(x) ), med formeln:

( (f^(-1)(x))' = 1 / f'(f^(-1)(x)) )

Denna formel härstammar från relationen ( f(f^(-1)(x)) = x ). Genom att derivera båda sidor med avseende på ( x ) får vi:

( f'(f^(-1)(x)) * (f^(-1)(x))' = 1 )

Genom att lösa för ( (f^(-1)(x))' ) får vi:

( (f^(-1)(x))' = 1 / f'(f^(-1)(x)) )

Detta koncept är särskilt användbart inom kalkyl för att analysera hur snabbt en invers funktion förändras vid en specifik punkt.

Funktioner hos kalkylatorn för invers derivata

  • Detaljerade steg: Ange en funktion och ett ( x )-värde för att se en detaljerad steg-för-steg-lösning.
  • Exempelfunktioner: Testa kalkylatorn med förinlästa funktioner som ( f(x) = x^2 + 1 ), ( f(x) = e^x ) eller ( f(x) = ln(x) ).
  • Grafisk visualisering: Kalkylatorn ritar både funktionen och dess inversa derivata.

Hur man använder kalkylatorn för invers derivata

  1. Ange en funktion: Mata in funktionen ( f(x) ) vars inversa derivata du vill beräkna. Till exempel: x^2 + 1 eller e^x.
  2. Specificera ett ( x )-värde: Ange punkten där du vill beräkna derivatan av den inversa funktionen.
  3. Klicka på Beräkna: Se resultatet tillsammans med en detaljerad förklaring av beräkningen.
  4. Utforska förinlästa exempel: Använd rullgardinsmenyn för att testa exempelfunktioner och se hur kalkylatorn fungerar.

Exempelgenomgång

Anta att du vill beräkna den inversa derivatan av ( f(x) = x^2 + 1 ) vid ( x = 2 ):

  1. Derivatan av ( f(x) ) är:

( f'(x) = 2 * x )

  1. Utvärdera ( f'(2) ):

( f'(2) = 2 * 2 = 4 )

  1. Använd formeln för den inversa derivatan:

( (f^(-1)(x))' = 1 / f'(f^(-1)(x)) )

Vid ( x = 2 ) är den inversa derivatan:

( (f^(-1)(2))' = 1 / 4 = 0.25 )

Viktiga fördelar med att använda denna kalkylator

  • Beräkna snabbt den inversa derivatan av komplexa funktioner.
  • Visualisera funktionen och dess inversa derivata på en interaktiv graf.
  • Förstå processen genom steg-för-steg-lösningar.