SVD-kalkylator

Kategori: Linjär Algebra
- juni 07, 2025
| |

Beräkna den singulära värdeuppdelningen (SVD) av en matris. SVD dekomponerar en matris i tre komponenter: U, Σ och V*. Denna dekomposition har många tillämpningar inom statistik, signalbehandling, bildkomprimering och mer.

Matrisinmatning

Visningsalternativ

Om Singulär Värdeuppdelning

Singulär Värdeuppdelning (SVD) är en faktoriseringsteknik som dekomponerar en matris A i tre matriser: U, Σ och V*. Den har breda tillämpningar inom datavetenskap, signalbehandling och linjär algebra.

Matematisk Definition

För en m×n matris A, är SVD:

A = UΣV*

där:

  • U är en m×m ortogonal matris (U*U = I)
  • Σ är en m×n diagonal matris med icke-negativa singulära värden
  • V* är den konjugerade transponaten av en n×n ortogonal matris V (V*V = I)
Tillämpningar av SVD
  • Dimensionell Reducering: Huvudkomponentanalys (PCA)
  • Bildkomprimering: Minska lagring samtidigt som bildkvaliteten bibehålls
  • Dataanalys: Brusreducering och funktionsutvinning
  • Rekommendationssystem: Samarbetsfiltrering för rekommendationer
  • Pseudoinvers Beräkning: Hitta lösningar till illa villkorade system
  • Signalbehandling: Filtrering och brusreducering
Egenskaper av SVD
  • Singulära värden är unika och ordnas i fallande ordning
  • Antalet icke-noll singulära värden är lika med rang av matrisen
  • Villkorsnumret är förhållandet mellan det största och minsta singulära värdet
  • SVD kan användas för att beräkna pseudoinversen via A⁺ = VΣ⁺U*
  • SVD är numeriskt stabil för beräkning

Singulärvärdesdekompositionsformel:

A = UΣV*

Där:

  • U = matris av vänstra singulära vektorer
  • Σ = diagonal matris av singulära värden
  • V* = transponat av matrisen av högra singulära vektorer

Vad är SVD-kalkylatorn?

Singulärvärdesdekompositions (SVD) kalkylatorn är ett webbaserat verktyg som bryter ner vilken matris som helst i tre grundläggande komponenter: U, Σ (Sigma) och V*. Denna process används i stor utsträckning inom linjär algebra för tillämpningar som datakomprimering, signalfiltrering och lösning av ekvationssystem.

Med SVD-kalkylatorn kan du snabbt analysera strukturen av en matris, förstå dess dimensionella egenskaper och beräkna viktiga värden som tillståndstal, rang och pseudoinvers.

Varför använda denna kalkylator?

<pDetta verktyg hjälper dig att:

  • Dekomponera en matris i U, Σ och V* för djupare analys
  • Förstå beteendet hos din matris genom dess singulära värden
  • Utforska egenskaper som matrisens rang, tillståndstal och Frobeniusnorm
  • Verifiera noggrannheten i dekompositionen
  • Beräkna Moore-Penrose pseudoinvers omedelbart

Om du arbetar med bilddata, statistik eller löser linjära system ger denna kalkylator dig den nedbrytning du behöver. Den kompletterar andra verktyg som LU-dekompositionskalkylatorn, Pseudoinverskalkylatorn och Matrisinverskalkylatorn genom att fokusera specifikt på analys av singulära värden.

Hur man använder SVD-kalkylatorn

Följ dessa enkla steg:

  1. Välj antalet rader och kolumner för din matris.
  2. Klicka på “Skapa matris” för att generera inmatningsfält.
  3. Ange dina matrisvärden i fälten.
  4. Välj visningsalternativ som decimalprecision och om du vill visa steg-för-steg-förklaringar.
  5. Klicka på “Beräkna SVD” för att bearbeta matrisen.
  6. Granska de resulterande U, Σ och V*-matriserna, samt härledda värden som pseudoinvers och tillståndstal.

Du kan också ladda en exempelmatris med hjälp av knappen “Ladda exempel” för att se hur det fungerar omedelbart.

Fördelar med att använda SVD

SVD används inom många områden och har praktiska fördelar:

  • Datakomprimering: Minska datastorleken utan att förlora viktiga funktioner
  • Brusreducering: Eliminera mindre komponenter i signaler eller datamängder
  • Maskininlärning: Förbättra algoritmprestanda genom dimensionsreduktion
  • Matrislösningar: Beräkna pseudoinvers när en normal invers inte finns
  • Bildbehandling: Effektivt komprimera och rekonstruera bilder

Detta verktyg är särskilt användbart när det kombineras med matrisverktyg som QR-faktorisering kalkylatorn, Gauss-Jordan eliminationskalkylatorn och Diagonaliseringskalkylatorn.

Vanliga frågor (FAQ)

  • Vilken storlek på matris kan jag ange?
    Du kan ange matriser från 1×1 upp till 10×10.
  • Vad händer om min matris har mycket små värden?
    Kalkylatorn markerar nära-noll värden för att hjälpa dig fokusera på betydande resultat.
  • Kan jag se hur SVD beräknas?
    Ja! Aktivera alternativet “Visa förklaring” för att se en steg-för-steg nedbrytning av dekompositionen.
  • Är detta verktyg användbart för lärande?
    Definitivt. Den visuella nedbrytningen och beräkningsstegen gör det till ett utmärkt hjälpmedel för studenter och lärare.
  • Hur skiljer sig detta från andra matrisverktyg?
    Medan Matrisinverskalkylatorn och LU-matriserfaktorisering fokuserar på direkta lösningar av linjära system, erbjuder SVD mer insikt i matrisens struktur och stabilitet.

Relaterade verktyg som du kan tycka är användbara