Divergenskalkylator

Divergenskalkylator: Förklaring och Användarguide

Divergenskalkylatorn är ett interaktivt verktyg utformat för att beräkna divergensen av ett tredimensionellt vektorfält. Det erbjuder ett intuitivt sätt att beräkna och visualisera divergensen av ett vektorfält ( \mathbf{F}(x, y, z) ), och ger både en symbolisk representation av divergensen och dess värde vid specifika punkter. Dessutom genererar verktyget en grafisk visualisering av vektorfältet för att hjälpa användare att få djupare insikter i dess beteende.

Vad är Divergens?

Divergens är en skalär storhet som mäter hastigheten med vilken ett vektorfält sprider sig eller konvergerar vid en given punkt. Matematiskt definieras divergensen av ett vektorfält ( \mathbf{F}(x, y, z) = P(x, y, z)\mathbf{i} + Q(x, y, z)\mathbf{j} + R(x, y, z)\mathbf{k} ) som:

[ \text{div} \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} ]

• Om divergensen är positiv, sprider sig vektorfältet vid den punkten.
• Om divergensen är negativ, konvergerar vektorfältet vid den punkten.
• Om divergensen är noll, sägs fältet vara solenoidalt vid den punkten.

Denna kalkylator tillhandahåller både symbolisk divergens och en möjlighet att utvärdera den numeriskt vid specifika punkter.

Funktioner i Divergenskalkylatorn

• Symbolisk Divergens: Beräknar automatiskt de partiella derivatorna av vektorfältets komponenter och konstruerar divergensuttrycket.
• Punktutvärdering: Utvärdera divergensen numeriskt vid en specifik punkt ( (x, y, z) ).
• Grafisk Visualisering: Visar en 3D-representation av vektorfältet med hjälp av Plotlys interaktiva 3D-plottningsfunktioner.
• Exempelmeny: Ladda snabbt fördefinierade exempel på vektorfält för utforskning.
• Felfunktioner: Säkerställer att ogiltiga eller ofullständiga inmatningar hanteras smidigt.

Hur man Använder Divergenskalkylatorn

Följ dessa enkla steg för att använda kalkylatorn effektivt:

1. Ange Vektorfältet:
2. Ange ( P(x, y, z) ), ( Q(x, y, z) ) och ( R(x, y, z) )-komponenterna för vektorfältet i respektive inmatningsfält.

3. Till exempel:

   • ( P(x, y, z) = \sin(xy) )
   • ( Q(x, y, z) = \cos(xy) )
   • ( R(x, y, z) = e^z )

4. Välj ett Exempel:

5. Använd rullgardinsmenyn för att ladda fördefinierade exempel på vektorfält.

6. Ange en Utvärderingspunkt (Valfritt):

7. Om du vill utvärdera divergensen vid en specifik punkt, ange värdena för ( x ), ( y ) och ( z ) i motsvarande fält.

8. Klicka på "Beräkna":

9. Kalkylatorn kommer att:

   • Beräkna den symboliska divergensen.
   • Utvärdera divergensen vid den angivna punkten (om tillhandahållen).
   • Visa en steg-för-steg-redogörelse för beräkningen.
   • Generera en 3D-visualisering av vektorfältet.

10. Rensa Inmatningarna:

11. Använd knappen "Rensa" för att återställa kalkylatorn.

Exempelgenomgång

Exempel på Vektorfält:

[ \mathbf{F}(x, y, z) = \sin(xy)\mathbf{i} + \cos(xy)\mathbf{j} + e^z\mathbf{k} ]

1. Ange komponenterna:
2. ( P(x, y, z) = \sin(xy) )
3. ( Q(x, y, z) = \cos(xy) )

4. ( R(x, y, z) = e^z )

5. Klicka på "Beräkna." Kalkylatorn kommer att:

6. Beräkna de partiella derivatorna:
   • ( \frac{\partial P}{\partial x} = y\cos(xy) )
   • ( \frac{\partial Q}{\partial y} = -x\sin(xy) )
   • ( \frac{\partial R}{\partial z} = e^z )
7. Kombinera dem för att hitta: [ \text{div} \mathbf{F} = y\cos(xy) - x\sin(xy) + e^z ]

8. Om utvärderingspunkten ( (x=1, y=1, z=0) ) anges, kommer resultatet att utvärderas som: [ \text{div} \mathbf{F}(1, 1, 0) = 1\cdot \cos(1) - 1\cdot \sin(1) + e^0 = \cos(1) - \sin(1) + 1 \approx 1.5403 ]

9. Visualisera det genererade 3D-vektorfältet på grafen.

FAQ

1. Vilka inmatningsformat stöds för vektorfältets komponenter?

Kalkylatorn stöder funktioner i termer av ( x ), ( y ) och ( z ). Exempel inkluderar: - Polynomfunktioner: ( x^2, y^2 + z ) - Trigonometriska funktioner: ( \sin(xy), \cos(z) ) - Exponentiella funktioner: ( e^z, x \cdot e^y )

2. Vad händer om jag inte anger en utvärderingspunkt?

Om ingen utvärderingspunkt anges, kommer kalkylatorn endast att visa den symboliska divergensen.

3. Kan jag använda denna kalkylator för 2D-vektorfält?

Ja, lämna helt enkelt ( R(x, y, z) )-komponenten tom eller sätt den till noll.

4. Hur genereras visualiseringen av 3D-vektorfältet?

Kalkylatorn använder Plotly för att skapa en interaktiv 3D-vektorfältsgraf. Varje pil representerar riktningen och magnituden av fältet vid en given punkt.

5. Vad händer om min inmatning innehåller ett fel?

Kalkylatorn kontrollerar fel som saknade komponenter eller ogiltiga uttryck. Ett beskrivande felmeddelande kommer att vägleda dig att åtgärda problemet.

Sammanfattning

Divergenskalkylatorn förenklar processen att analysera vektorfält genom att automatisera beräkningen av divergens och tillhandahålla en tydlig visuell representation. Oavsett om du är student, lärare eller yrkesverksam är detta verktyg perfekt för att få insikter i vektorfälts beteende i 3D-rymden. Börja utforska nu för att låsa upp den fulla potentialen hos denna kraftfulla kalkylator!