Laplace-transformationskalkylator

Kategori: Kalkyl
- april 06, 2025
| |

Beräkna Laplace- och invers Laplace-transformer för vanliga funktioner och uttryck. Ange din funktion i termer av t (tidsdomän) eller s (frekvensdomän).

Transformtyp

Funktionsinmatning

t =

Vanliga transformationer

Vanliga Laplace-transformpar

Tidsdomän f(t) Frekvensdomän F(s) Villkor

Om Laplace-transformer

Laplace-transformen är en integraltransform som omvandlar en funktion av en reell variabel t (ofta tid) till en funktion av en komplex variabel s (frekvens). Den omvandlar differentialekvationer till algebraiska ekvationer, vilket gör dem lättare att lösa.

Definition

Laplace-transformen av en funktion f(t) definieras som:

F(s) = ℒ{f(t)} = ∫0∞ e-st f(t) dt

Den inversa Laplace-transformen definieras som:

f(t) = ℒ-1{F(s)} = 1/(2πi) ∫γ-i∞γ+i∞ est F(s) ds
Nyckelegenskaper
  • Linearitet: ℒ{af(t) + bg(t)} = aℒ{f(t)} + bℒ{g(t)}
  • Differentiation: ℒ{f'(t)} = sℒ{f(t)} - f(0)
  • Integration: ℒ{∫0t f(τ)dτ} = F(s)/s
  • Förskjutning: ℒ{eatf(t)} = F(s-a)
  • Tidsfördröjning: ℒ{f(t-a)u(t-a)} = e-asF(s)
Tillämpningar
  • Lösning av ordinära och partiella differentialekvationer
  • Analys av elektroniska kretsar och styrsystem
  • Signalbehandling och systemanalys
  • Mechaniska vibrationer och värmeöverföring

Vad är Laplace-transformatorn?

Laplace-transformatorn är ett praktiskt verktyg som hjälper användare att lösa Laplace- och invers Laplace-transformer. Dessa transformer används för att konvertera funktioner mellan tidsdomänen och frekvensdomänen—en viktig teknik inom ingenjörsvetenskap, fysik och avancerad matematik.

Denna kalkylator är särskilt användbar för studenter, lärare och yrkesverksamma som arbetar med differentialekvationer, systemanalys eller signalbehandling.

Laplace-transform:

\( F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^\infty e^{-st} f(t) \, dt \)

Invers Laplace-transform:

\( f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma - i\infty}^{\gamma + i\infty} e^{st} F(s) \, ds \)

Hur man använder kalkylatorn

Följ dessa enkla steg för att använda Laplace-transformatorn effektivt:

  • Välj transformtyp: Välj mellan "Laplace-transform" (tid → frekvens) eller "Invers Laplace-transform" (frekvens → tid).
  • Ange funktionen: Skriv in ditt uttryck i termer av t eller s beroende på vald transform.
  • Valfritt: Specificera ett numeriskt värde för variabeln för att få ett beräknat resultat vid den punkten.
  • Välj precision: Välj hur många decimaler du vill ha i det slutliga svaret.
  • Klicka på "Beräkna transform": Verktyget kommer att beräkna resultatet och ge steg-för-steg-förklaringar.

Funktioner som gör den användbar

  • Stöder både Laplace- och invers Laplace-transformer
  • Inkluderar en tabell med vanliga transformer för snabb referens
  • Visar lösningssteg och transformationsegenskaper som används
  • Erbjuder valfri numerisk utvärdering för funktionsvärden
  • Perfekt för att snabbt lösa differentialekvationer

Varför använda detta verktyg?

Manuell beräkning av Laplace-transformer kan vara tidskrävande och benägen för fel. Denna kalkylator förenklar processen och ger omedelbara resultat. Oavsett om du studerar elektriska kretsar, mekaniska system eller matematiska modeller, snabbar detta verktyg upp ditt arbetsflöde.

Kalkylatorn kompletterar andra matematiska verktyg som Kalkylator för partiella derivator för multivariabeldifferentiering, Kalkylator för antiderivator för att hitta antiderivator, och Kalkylator för andra derivator för analys av krökning och konkavitet. Det är en del av ett bredare verktyg som är användbart för att hantera allt från att hitta funktionsgränser med en Gränskalkylator till att lösa integraler online med en Integralkalkylator.

Vanliga användningsfall

  • Lösa ordinära differentialekvationer (ODEs)
  • Analysera styrsystem och kretsrespons
  • Utvärdera tidsdomänens beteende från frekvensdomänens uttryck
  • Ingenjörs- och fysikapplikationer som involverar transienta eller stationära system

FAQ

Q: Vilka typer av funktioner kan jag ange?

Du kan ange uttryck som t^2, sin(3t), e^(-2t), eller 1/s^2. Kalkylatorn identifierar automatiskt vanliga former eller erbjuder vägledning om en matchning inte hittas.

Q: Vad händer om min funktion inte känns igen?

Om din inmatning inte matchar kända transformer kommer kalkylatorn att informera dig. Du kan hänvisa till tabellen med vanliga transformer som ingår i gränssnittet eller försöka modifiera din inmatning.

Q: Kan jag använda detta för att kontrollera läxor eller uppgifter?

Ja, det är idealiskt för att kontrollera resultat av Laplace-transformer och förstå lösningssteg, vilket hjälper till att förstärka lärandet.

Q: Fungerar detta för inversa transformer också?

Absolut. Byt helt enkelt transformtyp till "Invers Laplace-transform" och ange en frekvensdomänfunktion i termer av s.

Q: Är det användbart tillsammans med andra kalkylatorer?

Definitivt. Använd det med verktyg som Kalkylator för implicit derivata, Kalkylator för medelvärdessatsen, eller Jacobian-kalkylator för att täcka ett brett spektrum av kalkyl- och systemanalysproblem.

Slutsats

Laplace-transformatorn är ett hjälpsamt, lättanvänt verktyg för alla som behöver snabba och exakta transformresultat. Oavsett om du försöker lösa Laplace-ekvationer, analysera systembeteende eller förenkla differentialekvationer, erbjuder den tydliga utdata och förklaringar. Använd den tillsammans med andra kalkylatorer som Kalkylator för riktad derivata eller Kalkylator för funktionsmedelvärde för att hantera ännu fler typer av matematiska problem med självförtroende.