Simpsons regelkalkylator

Kategori: Kalkyl

- juni 10, 2025

| |

Beräkna bestämda integraler numeriskt med Simpsons regel. Denna kalkylator approximera integralen av en funktion över ett specificerat intervall genom att passa paraboliska bågar genom ekvidistanta punkter.

Integrationsparametrar

Funktion att integrera:

Använd x som variabel. Matematiska funktioner: sin, cos, tan, log, sqrt, etc.

Nedre gräns (a):

Övre gräns (b):

Antal intervall (n):

Måste vara ett jämnt tal för Simpsons regel

Visualiseringsalternativ

Visa funktionsgraf

Visa approximationsområden

Förstå Simpsons regel

Simpsons regel är en numerisk approximationsmetod för bestämda integraler. Den approximera funktionen med kvadratiska polynom, vilket ger bättre noggrannhet än enklare metoder som trapezmetoden.

Formeln

\begin{align} \int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{h}{3} \left[ f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + \ldots + 2f(x_{n-2}) + 4f(x_{n-1}) + f(x_n) \right] \end{align}

Där:

h = (b - a) / n är bredden av varje delintervall
n är antalet delintervall (måste vara jämnt)
x_i = a + i·h är de jämnt fördelade punkterna

Felterm

Simpsons regel har en felterm av O(h⁵), vilket betyder att felet är proportionellt mot h⁴. Specifikt:

\text{Fel} \approx -\frac{b-a}{180}h^4 f^{(4)}(\xi)

Där f⁽⁴⁾(ξ) är den fjärde derivatan av f vid någon punkt ξ mellan a och b.

Jämförelse med andra metoder

Mittpunktsmetoden: Felet är O(h³), mindre noggrant än Simpsons regel
Trapezmetoden: Felet är O(h³), mindre noggrant än Simpsons regel
Simpsons 3/8 regel: Liknande noggrannhet som Simpsons regel
Gaussisk kvadratur: Mer noggrant för vissa funktionstyper

Ansvarsfriskrivning: Denna kalkylator ger numeriska approximationer som kan innehålla fel, särskilt för funktioner med singulariteter eller snabba svängningar. Verifiera alltid viktiga resultat med alternativa metoder eller analytiska lösningar när det är möjligt.

Vad är Simpson's Regel Kalkylator?

Simpson's Regel Kalkylator är ett interaktivt verktyg som uppskattar värdet av ett bestämt integral. Istället för att lösa komplexa integraler för hand, tillämpar denna kalkylator en pålitlig numerisk metod för att approximera området under en kurva, känd som Simpson's Regel. Det är särskilt användbart för funktioner som är svåra eller omöjliga att integrera analytiskt.

\[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{h}{3} \left[ f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + \dots + 2f(x_{n-2}) + 4f(x_{n-1}) + f(x_n) \right] \]

Denna metod delar intervallet i ett jämnt antal delar och passar paraboler genom punkter på grafen av funktionen. Den ger bättre noggrannhet än trapezmetoden eller medelvärdesmetoden.

Varför använda den?

Oavsett om du är student, lärare, ingenjör eller nyfiken lärande, hjälper Simpson’s Regel Kalkylator dig att:

Snabbt uppskatta bestämda integraler
Visualisera hur området under kurvan approximeras
Förstå påverkan av att ändra antalet intervall
Utföra felanalys och se konvergensbeteende

Den kompletterar också andra verktyg som Integralkalkylatorn för att lösa bestämda eller obestämda integraler och Antiderivata Kalkylatorn för att hitta antiderivator. Om du arbetar med flervariabla funktioner, kolla in Partiell Derivata Kalkylatorn för att beräkna partiella derivator eller analysera flervariabeldifferentiering.

Hur man använder kalkylatorn

Följ dessa enkla steg för att få en noggrann approximation av din bestämda integral:

Ange funktionen du vill integrera i inmatningsrutan (använd x som variabel).
Ställ in de nedre och övre gränserna för integrationsintervallet.
Välj antalet intervall (måste vara ett jämnt antal).
Valfritt, aktivera funktionsplotting och approximationsvisualiseringar.
Klicka på "Beräkna Integral" för att se resultatet, grafen och uppdelningen.

Du kan återställa kalkylatorn när som helst med "Återställ" knappen.

Vanliga användningsområden

Använd Simpson’s Regel Kalkylator för att:

Approximerar området under kurvor när den exakta integralen är svår att beräkna
Jämföra numeriska resultat med exakta lösningar från en integral lösare
Analysera konvergens genom att öka intervallen
Få insikter i felbeteende över olika intervallantal

Det är särskilt praktiskt för att kontrollera arbete eller komplettera resultat från verktyg som Andra Derivata Kalkylatorn eller Riktad Derivata Kalkylatorn i flervariabelanalys.

Vanliga frågor

Q: Vilka typer av funktioner kan jag ange?
Vilken funktion som helst som använder x som variabel. Vanliga uttryck inkluderar polynom, trigonometriska funktioner, exponentiella funktioner och logaritmer. Till exempel: x^2 + sin(x).

Q: Varför måste antalet intervall vara jämnt?
Simpson’s Regel bygger på att passa paraboler över par av intervall. Ett udda antal intervall skulle bryta denna parning.

Q: Hur noggrant är denna metod?
Simpson's Regel är mycket noggrann för jämna funktioner och förbättras med fler intervall. Kalkylatorn visar också fel- och konvergensinformation.

Q: Vad händer om min funktion är odefinierad vid någon punkt?
Undvik funktioner med singulariteter eller diskontinuiteter inom intervallet. Dessa kan orsaka ogiltiga resultat eller utvärderingsfel.

Avslutande tankar

Denna kalkylator är en hjälpsam följeslagare för att studera kalkyl och lösa verkliga problem som involverar integration. Den är en del av en bredare uppsättning matematiska verktyg som Derivata Kalkylatorn, Invers Derivata Kalkylatorn och Gränsvärde Kalkylatorn som förenklar lärande och tillämpning av avancerade matematiska koncept.