Dubbelintegralräknare

Kategori: Kalkyl
- juni 11, 2025
| |

Beräkna dubbla integraler över rektangulära och allmänna områden. Denna kalkylator stöder symbolisk integration, numerisk approximation och visualisering av dubbla integraler i kartesiska och polära koordinater.

Funktionsdefinition

Använd x, y för variabler. Stödda: +, -, *, /, ^, sin, cos, tan, exp, ln, sqrt

Integrationsområde

Beräkningsalternativ

Högre värden = mer noggrannhet, långsammare beräkning
Antal decimaler i resultatet

Visualiseringsalternativ

Avancerade inställningar

Används endast för Monte Carlo-metoden
Stoppkriterium för iterativa metoder

Teori om dubbla integraler

Dubbla integraler utvidgar konceptet av enkla integraler till funktioner av två variabler, vilket möjliggör beräkning av volymer under ytor, områden av regioner och olika fysiska kvantiteter som massa och moment.

Typer av områden
  • Rektangulärt område: Enkla gränser för båda variabler
  • Typ I område: y varierar mellan funktioner av x
  • Typ II område: x varierar mellan funktioner av y
  • Polära områden: Områden som bättre beskrivs i polära koordinater
Numeriska integrationsmetoder
  • Simpsons regel: Använder paraboliska approximationer, O(h⁴) noggrannhet
  • Trapezmetoden: Använder linjära approximationer, O(h²) noggrannhet
  • Monte Carlo: Slumptalsprovtagning, användbart för komplexa områden
  • Gaussisk kvadratur: Optimal nodplacering för polynomfunktioner
Koordinattransformationer
  • Kartesiskt till polärt: x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ
  • Jacobian: Transformationsfaktor för förändring av variabler
  • Integrationsordning: Ibland förenklar en förändring av ordningen beräkningen
Tillämpningar
  • Volym: Volym under en yta z = f(x,y)
  • Område: Område av en region i xy-planet
  • Massa: Total massa när f(x,y) representerar densitet
  • Tyngdpunkt: Balanspunkt för en region eller objekt
  • Tröghetsmoment: Beräkningar av rotationsinertia

Ansvarsfriskrivning: Denna kalkylator tillhandahåller numeriska approximationer och symboliska beräkningar för utbildningsändamål. Resultat kan ha beräkningsbegränsningar för mycket komplexa funktioner eller extrema värden. Verifiera alltid kritiska beräkningar med flera metoder eller analytiska lösningar när det är möjligt.

∬R f(x, y) dA

Vad är dubbelintegralräknaren?

Dubbelintegralräknaren är ett interaktivt verktyg för att beräkna värdet av dubbelintegraler över tvådimensionella områden. Den hjälper till att utvärdera den totala ackumuleringen av en funktion över ett område — oavsett om det representerar volym under en yta, total massa eller en annan fysisk kvantitet.

Detta verktyg stöder både rektangulära och mer komplexa områden och fungerar med kartesiska och polära koordinater. Du kan välja mellan symboliska (exakta) och numeriska (ungefärliga) metoder, vilket gör det lämpligt för ett brett spektrum av problem inom kalkyl och fysik.

Hur man använder räknaren

Följ dessa steg för att utföra en beräkning:

  • Ange funktionen: Skriv in en funktion av x och y (t.ex. x*y, sin(x)*cos(y)).
  • Välj koordinatsystem: Välj mellan kartesiska eller polära koordinater baserat på problemets uppställning.
  • Välj områdestyp: Välj mellan rektangulära, typ I/II-regioner eller polära former för mer flexibilitet.
  • Ställ in gränserna: Definiera integrationsgränserna — antingen konstanta eller funktionsbaserade beroende på områdestyp.
  • Välj integrationsmetod: Välj symbolisk, numerisk eller båda. För numerisk kan du välja mellan Simpsons regel, trapezmetoden, Monte Carlo eller Gaussisk kvadratur.
  • Anpassa alternativ: Justera rutnätsstorlek, precision och visualiseringsinställningar efter behov.
  • Klicka på “Beräkna”: Resultatet kommer att inkludera integralvärdet, valfria 3D-diagram, konturvisualiseringar och detaljerad analys.

Nyckelfunktioner

  • Stöder symbolisk och numerisk integration
  • Hantera kartesiska och polära koordinatsystem
  • Fungerar med rektangulära, typ I, typ II och polära områden
  • Erbjuder visuella utdata: ytdiagram, konturdiagram och områdeskartläggning
  • Inkluderar avancerade numeriska metoder som Monte Carlo och Gaussisk kvadratur
  • Visar steg-för-steg-lösningar och konvergensanalys

Varför denna räknare är användbar

Detta verktyg är idealiskt för studenter, lärare, ingenjörer och alla som arbetar med multivariabel kalkyl. Det möjliggör snabb, tydlig utvärdering av dubbelintegraler — något som ofta krävs vid lösning av fysikproblem eller vid beräkning av area och volym.

Oavsett om du behöver beräkna volym under en yta, utvärdera massa från en densitetsfunktion eller visualisera beteendet hos en funktion över ett 2D-domän, förenklar denna räknare processen och sparar tid.

Anslutningar till andra räknare

Om du också arbetar med relaterade ämnen kan du ha nytta av dessa verktyg:

  • Antiderivaträknare: Hjälper till att hitta antiderivator och lösa obestämda integraler enkelt.
  • Partiell derivaträknare: Idealisk för multivariabel differentiering och beräkning av partiella derivator.
  • Andra derivaträknare: Användbar för analys av andra ordningens derivator och kurvbeteende.
  • Riktad derivaträknare: Ett verktyg för att utvärdera partiella derivator i en riktning eller gradienter i vektorfält.
  • Polära koordinaträknare: Hjälper med r och θ-beräkningar och konverteringar mellan koordinatsystem.
  • Integralsräknare: Allmänt verktyg för att lösa både bestämda och obestämda integraler.

Vanliga frågor

Vad används en dubbelintegral till?

Dubbelintegraler beräknar det ackumulerade värdet av en funktion över ett tvådimensionellt område. Vanliga tillämpningar inkluderar att beräkna volym under en yta, total massa (om densitet ges) eller area av oregelbundna former.

Vilka typer av funktioner kan jag ange?

Du kan använda funktioner som involverar x och y såsom polynom, trigonometriska funktioner, exponentiella funktioner, logaritmer och rötter. Exempel: x*y, sin(x)*cos(y), e^(x^2 + y^2).

Vilken metod ska jag välja: numerisk eller symbolisk?

Använd symbolisk integration för exakta svar (om möjligt), och numeriska metoder när symbolisk integration är för komplex eller inte existerar. Simpsons regel är ofta noggrann för släta funktioner; Monte Carlo är användbart för komplexa eller oregelbundna områden.

Kan jag visualisera resultatet?

Ja. Du kan aktivera ytdiagram, konturkartor och områdesdiagram för att förstå funktionen och integrationsområdet visuellt.

Hjälper detta med relaterade ämnen som partiella derivator eller integraler med en variabel?

Definitivt. Räknaren kompletterar verktyg som Partiell derivaträknare för partiell differentiering, och Integralsräknare för att lösa integraler i problem med en variabel.

Sammanfattning

Dubbelintegralräknaren är en användbar lösning för alla som behöver beräkna tvåvariabelintegraler effektivt. Den erbjuder exakta resultat, tydliga visualiseringar och pedagogiska insikter som underlättar lärande och problemlösning.